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3.1 证明括号引理：对于任何，在中出现的左括号个数等于在中出现的右括号个数。
证明：记表示的左括号数目，为的右括号数，以下即证。
只需对的结构做归纳：
- ，
- ，
- ，
3.2 试求的。
解： 为了使得-项与变量间能互相区分，下文约定可以对其添加下标作为记号，如。
可记，且，所以。
所以
3.3 证明：没有。
证明：简记。
其具有唯一的归约分支：无穷-化归链。
3.4 设呈形，证明：
（1）
（2）
注意，对于一般的，，但。
证明： （1）
（2）反证法，假设，不妨取，此时就不能进行归约，并且，由命题3.14和定理3.20，
与的事实矛盾。
3.5 证明二元不动点定理：对于任何，存在，满足
证明： 存在组合子可以使得。
取即可保证。
然后第一个公式可写为，取即可。
3.6 证明：对任何，方程对于有解。
证明： 取，其中，则
原命题转化为有解，直接由不动点定理得，取，其中为不动点组合子。
并且，所以验证通过。
因此，便是方程解。
3.7 证明：对于任意的，若，则存在以及，满足
（1），
（2），
（3）对任何，。
证明：是的自反和传递闭包，即，其中时表示自反的情况。
数学归纳法证明之：
当时，显然取，原命题成立
若已知，原命题成立，对的情况进行分析
必然存在（不必唯一）一个中间项使得
又因为存在，显然取可使成立
综上，原命题得证。
3.8 证明：对于任意，若，则。
证明： 由题3.7，存在归约链
由于是合拍闭包的，因此有，因此
3.9 证明：对于任意，若，则存在以及，满足
（1），
（2），
（3）对任何，或。
证明：是的自反、传递和对称闭包，即。
与题3.7类似完成证明，唯一不同在于该“链条”有允许两个方向。
3.10 证明定理3.12：
对于任何，
证明：二元关系，是的合拍、自反、对称和传递闭包。
有且只有以下几种形式：
（记号约定）
显而易见，上述的形式与形式理论中的公理或者规则互相等价，如，既无遗漏也无多余。
因此。
3.11 证明定理3.13：
对于任何，
证明：同题3.10，是的合拍、自反、对称和传递闭包，因此类似地，再引入一条表现形式：
且有，即该条转换形式与形式理论中的公理等价，同理原命题亦得证。
3.12 证明：对于任何的，若，则存在使且。这就是对于的CR性质。
证明：已知，具有CR性质
利用题3.9中的结论，即时有，对其长度应用数学归纳法：
当，即，由自反性，则存在使且。
若时结论成立，试验证时结论成立，即考虑的情况
故存在使得
- 若，即，故存在使得，进而
- 若，利用的传递性，
综上，原命题成立。
3.13 证明：若在系统中加入下述公理
则对任何的。
证明：
3.14 证明命题3.14：
设是上的一个二元关系，，则
（1）不存在使得
（2）
证明：（1）反证法，假设存在使得，即，与矛盾
（2）反证法，因为，假设，即排除的情况，则存在项使得，同样也导致矛盾
3.15 证明引理3.16：
若且，则
证明：，所以有通过依次收缩可以得到，
同理通过依次收缩可以得到。
构造收缩过程，显然其可以将归约到，以下要证明这个过程是一个mcd
- ，由可知
- ，由可知
- ，因为二者来自不同的-项
所以，。
3.16 试找出使 -定义函数
解：取即可
3.17 试找出使 -定义函数
解：取即可
3.18 令，证明：对于任意的，
这里，。
证明：容易证明第一个等式成立，
接下来证明第二个等式，
3.19 设，证明：对于任意的和，
证明：先代入并归约，
数学归纳法：
时，
若假设有即
综上，原命题得证。
3.20 构造使得对于任何，
解：亦即寻找 -定义，由题3.19，取即可。
3.21 设，即
且 -定义函数，试求使得 -定义函数。
解： 亦即寻找使成立
所以，取即可。
3.22 证明引理3.39：
存在一般递归函数使得：
证明：
-
，可得
3.23 设为习题1.16中定义的函数，试构造使对成立。
（该函数定义如下）
解：先定义原始递归函数如下：
然后构造 -定义了
（其中，定义见定理3.23，定义见引理3.31，的定义参考引理3.33，定义见题3.19）
又，所以应该使
综上，
3.24 构造，使得对于任意，有
解：等价于构造
显然的可以通过递归与复合的方式计算，当然也就是说，故存在使得
由定理3.41，存在枚举子使得
所以取即可。验证之，，满足条件。
3.25 证明：存在，使得对于任意有
证明：由定理3.41，已知存在枚举子，使得对于任何，有。
因此，构造即可，以下验证之，
验证通过，总是存在符合条件。